1 فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما. مسائل c2 آزمون دولتی یکپارچه ریاضی در مورد یافتن فاصله نقطه تا صفحه. فاصله از یک نقطه تا یک صفحه - نظریه، مثال ها، راه حل ها

, مسابقه "ارائه برای درس"

کلاس: 11

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

تعمیم و نظام مند کردن دانش و مهارت های دانش آموزان؛
توسعه مهارت های تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری.

تجهیزات:

پروژکتور چند رسانه ای؛
کامپیوتر؛
برگه هایی با متون مشکل

پیشرفت کلاس

I. لحظه سازمانی

II. مرحله به روز رسانی دانش(اسلاید 2)

نحوه تعیین فاصله از یک نقطه تا یک صفحه را تکرار می کنیم

III. سخنرانی(اسلایدهای 3-15)

در این درس به روش‌های مختلف برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه می‌پردازیم.

روش اول: محاسباتی گام به گام

فاصله نقطه M تا صفحه α:
- مساوی فاصله صفحه α از نقطه دلخواه P که روی خط مستقیم a قرار دارد که از نقطه M می گذرد و موازی با صفحه α است.
– برابر است با فاصله صفحه α از نقطه دلخواه P واقع در صفحه β که از نقطه M می گذرد و موازی با صفحه α است.

ما مشکلات زیر را حل خواهیم کرد:

№1. در مکعب A...D 1 فاصله نقطه C 1 تا صفحه AB 1 C را پیدا کنید.

باقی مانده است که مقدار طول بخش O 1 N را محاسبه کنیم.

№2. در یک منشور شش ضلعی منظم A...F 1 که تمام لبه های آن برابر با 1 است، فاصله نقطه A تا صفحه DEA 1 را پیدا کنید.

روش بعدی: روش حجم.

اگر حجم هرم ABCM برابر با V باشد، فاصله نقطه M تا صفحه α حاوی ΔABC با فرمول ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = محاسبه می شود.
هنگام حل مسائل، از برابری حجم های یک شکل استفاده می کنیم که به دو روش مختلف بیان می شود.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№3. لبه AD هرم DABC عمود بر صفحه پایه ABC است. فاصله A تا صفحه ای که از وسط یال های AB، AC و AD می گذرد را بیابید، اگر.

هنگام حل مشکلات روش مختصاتفاصله نقطه M تا صفحه α را می توان با استفاده از فرمول ρ(M; α) = محاسبه کرد ، که در آن M(x 0؛ y 0؛ z 0)، و صفحه با معادله ax + توسط + cz + d = 0 به دست می آید.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№4. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه A 1 تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

بیایید یک سیستم مختصات با مبدأ در نقطه A معرفی کنیم، محور y در امتداد لبه AB، محور x در امتداد لبه AD و محور z در امتداد لبه AA 1 قرار خواهد گرفت. سپس مختصات نقاط B (0؛ 1؛ 0) D (1؛ 0؛ 0؛) C 1 (1؛ 1؛ 1)
بیایید برای صفحه ای که از نقاط B، D، C 1 عبور می کند، معادله ای ایجاد کنیم.

سپس – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1 = 0. بنابراین، ρ =

روش زیر که می توان برای حل مسائل از این نوع استفاده کرد روش مشکلات پشتیبانی

کاربرد این روش شامل استفاده از مسائل مرجع شناخته شده است که به صورت قضایا فرموله می شوند.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№5. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه D 1 تا صفحه AB 1 C را پیدا کنید.

بیایید برنامه را در نظر بگیریم روش برداری

№6. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه A 1 تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

بنابراین، ما روش‌های مختلفی را بررسی کردیم که می‌توان از آنها برای حل این نوع مشکلات استفاده کرد. انتخاب یک روش یا روش دیگر به کار خاص و ترجیحات شما بستگی دارد.

IV. کار گروهی

سعی کنید مشکل را به روش های مختلف حل کنید.

№1. لبه مکعب A...D 1 برابر است با . فاصله راس C تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

№2. در یک چهار وجهی منظم ABCD با یک یال، فاصله نقطه A تا صفحه BDC را پیدا کنید.

№3. در یک منشور مثلثی منظم ABCA 1 B 1 C 1 که تمام یال های آن برابر با 1 هستند، فاصله A تا صفحه BCA 1 را پیدا کنید.

№4. در یک هرم چهار ضلعی منظم SABCD که تمام لبه های آن برابر با 1 است، فاصله A تا صفحه SCD را پیدا کنید.

V. خلاصه درس، تکلیف، تأمل

بگذار هواپیما باشد . بیایید یک معمولی بکشیم
از طریق مبدا مختصات O. اجازه دهید داده شود
- زوایای تشکیل شده توسط نرمال با محورهای مختصات
. اجازه دهید - طول قطعه نرمال
تا زمانی که با هواپیما تلاقی کند. با فرض مشخص بودن جهت کسینوس های نرمال ، معادله هواپیما را به دست می آوریم .

اجازه دهید
) یک نقطه دلخواه در هواپیما است. بردار عادی واحد دارای مختصاتی است. بیایید طرح بردار را پیدا کنیم
به حالت عادی

از آنجا که نقطه مپس متعلق به هواپیما است

این معادله یک صفحه معین است که نامیده می شود طبیعی .

فاصله از نقطه به هواپیما

بگذار یک هواپیما داده شود ,م*
- نقطه در فضا، د - فاصله آن از هواپیما

تعریف. انحراف نکته ها M*از هواپیما عدد ( + د), اگر م* در سمت دیگر صفحه قرار دارد که جهت مثبت از نرمال است و شماره (- د، اگر نقطه در طرف دیگر هواپیما قرار دارد:

قضیه. اجازه دهید هواپیما با واحد معمولی با معادله نرمال به دست می آید:

اجازه دهید م*
– نقطه در فضا انحراف t. م* from the plane با عبارت داده می شود

اثباتپروجکشن تی.
* ما با عادی نشان می دهیم س. انحراف نقطه M*از هواپیما برابر است

قانون.برای پیدا کردن انحراف تی. م* از صفحه، باید مختصات t را در معادله عادی هواپیما جایگزین کنید. م* . فاصله یک نقطه تا یک صفحه است .

کاهش معادله صفحه عمومی به شکل عادی

بگذارید همان صفحه با دو معادله تعریف شود:

معادله کلی

معادله نرمال

از آنجایی که هر دو معادله یک صفحه را تعریف می کنند، ضرایب آنها متناسب است:

بیایید سه برابر اول را مربع کرده و آنها را جمع کنیم:

از اینجا پیدا خواهیم کرد - عامل عادی سازی:

. (10)

با ضرب معادله کلی هواپیما در یک ضریب نرمال کننده، معادله نرمال صفحه را به دست می آوریم:

نمونه هایی از مشکلات در موضوع "هواپیما".

مثال 1.یک معادله از هواپیما ایجاد کنید عبور از یک نقطه معین
(2،1،-1) و موازی با هواپیما.

راه حل. برای هواپیما عادی است :
. از آنجایی که هواپیماها موازی هستند، پس عادی هستند نسبت به هواپیمای مورد نظر نیز عادی است . با استفاده از معادله صفحه ای که از یک نقطه داده شده (3) می گذرد، برای هواپیما به دست می آوریم معادله:

پاسخ:

مثال 2.قاعده یک عمود از مبدأ به یک صفحه سقوط کرده است ، نکته است
. معادله هواپیما را پیدا کنید .

راه حل. بردار
برای هواپیما عادی است . نقطه م 0 متعلق به هواپیما است می توانید از معادله صفحه ای که از یک نقطه داده شده عبور می کند (3) استفاده کنید:

پاسخ:

مثال 3.ساخت هواپیما ، از نقاط عبور می کند

و عمود بر صفحه :.

بنابراین، برای یک نقطه م (ایکس, y, z) متعلق به هواپیما بود ، لازم است که سه بردار
همسطح بودند:

=0.

باقی مانده است که تعیین کننده را آشکار کنیم و عبارت حاصل را به شکل معادله کلی (1) برسانیم.

مثال 4.سطح با معادله کلی به دست می آید:

انحراف نقطه را پیدا کنید
از یک هواپیمای مشخص

راه حل. اجازه دهید معادله هواپیما را به حالت عادی برسانیم.

اجازه دهید مختصات نقطه را در معادله نرمال حاصل جایگزین کنیم M*.

پاسخ:
.

مثال 5.آیا هواپیما قطعه را قطع می کند؟

راه حل. بریدن ABعبور از هواپیما، انحرافات و از هواپیما باید علائم مختلفی داشته باشد:

مثال 6.تقاطع سه صفحه در یک نقطه.

این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد، بنابراین، این سه صفحه یک نقطه مشترک دارند.

مثال 7.یافتن نیمسازهای یک زاویه دو وجهی که توسط دو صفحه داده شده تشکیل شده است.

اجازه دهید و - انحراف یک نقطه
از هواپیماهای اول و دوم

در یکی از صفحات نیمساز (مطابق با زاویه ای که مبدأ مختصات در آن قرار دارد) این انحرافات از نظر قدر و علامت مساوی و در دیگری از نظر قدر مساوی و از نظر علامت مخالف هستند.

این معادله اولین صفحه نیمساز است.

این معادله صفحه نیمساز دوم است.

مثال 8.تعیین محل دو نقطه داده شده و نسبت به زوایای دو وجهی تشکیل شده توسط این صفحات.

اجازه دهید
. تعیین کنید: نقاطی در یک گوشه، مجاور یا عمودی وجود دارد و .

آ). اگر و در یک طرف دراز بکشید و از ، سپس در همان زاویه دو وجهی قرار می گیرند.

ب). اگر و در یک طرف دراز بکشید و متفاوت از ، سپس در گوشه های مجاور دراز می کشند.

V). اگر و در طرف مقابل دراز بکشید و ، سپس در گوشه های عمودی قرار می گیرند.

سیستم های مختصات 3

خطوط در هواپیما 8

خطوط سفارش اول مستقیم در هواپیما 10

زاویه بین خطوط مستقیم 12

معادله کلی خط 13

معادله 14 درجه اول ناقص

معادله یک خط مستقیم "در پاره ها" 14

مطالعه مشترک معادلات دو خط 15

معمولی تا خط 15

زاویه بین دو خط مستقیم 16

معادله متعارف خط 16

معادلات پارامتریک خط 17

معادله عادی (نرمال شده) یک خط 18

فاصله از نقطه تا خط 19

معادله یک مداد خط 20

نمونه هایی از مسائل مربوط به موضوع "خط در هواپیما" 22

حاصل ضرب برداری بردارها 24

خواص محصول متقاطع 24

ویژگی های هندسی 24

ویژگی های جبری 25

بیان حاصلضرب بردار از طریق مختصات عوامل 26

حاصلضرب مخلوط سه بردار 28

معنای هندسی محصول مختلط 28

بیان یک محصول مخلوط از طریق مختصات برداری 29

نمونه هایی از حل مسئله

یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه مشکل رایجی است که هنگام حل مسائل مختلف هندسه تحلیلی به وجود می آید؛ برای مثال، این مسئله را می توان به یافتن فاصله بین دو خط مستقیم متقاطع یا بین یک خط مستقیم و یک صفحه موازی کاهش داد. آی تی.

صفحه $β$ و یک نقطه $M_0$ با مختصات $(x_0;y_0; z_0)$ را در نظر بگیرید که به صفحه $β$ تعلق ندارد.

تعریف 1

کوتاه ترین فاصله بین یک نقطه و یک صفحه، عمود رسم شده از نقطه $M_0$ به صفحه $β$ خواهد بود.

شکل 1. فاصله از یک نقطه تا یک صفحه. نویسنده24 - تبادل آنلاین آثار دانشجویی

در زیر به نحوه یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه با استفاده از روش مختصات می پردازیم.

استخراج فرمول روش مختصات برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه در فضا

یک عمود از نقطه $M_0$ که صفحه $β$ را در نقطه $M_1$ با مختصات $(x_1;y_1; z_1)$ قطع می کند روی یک خط مستقیم قرار دارد که بردار جهت آن بردار عادی صفحه $β$ است. در این حالت طول بردار واحد $n$ برابر با یک است. بر این اساس، فاصله $β$ تا نقطه $M_0$ خواهد بود:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$، که $\vec(M_1M_0)$ بردار عادی صفحه $β$ است و $\vec( n)$ بردار نرمال واحد صفحه مورد نظر است.

در حالتی که معادله صفحه به صورت کلی $Ax+ By + Cz + D=0$ داده شود، مختصات بردار نرمال صفحه ضرایب معادله $\(A;B;C\ است. )$، و بردار عادی واحد در این مورد دارای مختصات است که با استفاده از معادله زیر محاسبه می شود:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\راست)$.

اکنون می‌توانیم مختصات بردار معمولی $\vec(M_1M_0)$ را پیدا کنیم:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\ چپ (3\راست)$.

همچنین ضریب $D$ را با استفاده از مختصات یک نقطه در صفحه $β$ بیان می کنیم:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

مختصات بردار نرمال واحد از برابری $(2)$ را می توان در معادله صفحه $β$ جایگزین کرد، سپس داریم:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\left(4\right)$

برابری $(4)$ فرمولی برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه در فضا است.

الگوریتم کلی برای یافتن فاصله از نقطه $M_0$ تا یک صفحه

اگر معادله هواپیما به صورت کلی ارائه نشده است، ابتدا باید آن را به شکل کلی کاهش دهید.
پس از این، باید از معادله کلی صفحه، بردار نرمال یک صفحه معین را از نقطه $M_0$ و یک نقطه متعلق به یک صفحه معین بیان کنیم، برای این کار باید از برابری $(3)$ استفاده کنیم. .
مرحله بعدی جستجوی مختصات بردار نرمال واحد هواپیما با استفاده از فرمول $(2)$ است.
در نهایت، می توانید شروع به یافتن فاصله از نقطه تا صفحه کنید، این کار با محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارهای $\vec(n)$ و $\vec(M_1M_0)$ انجام می شود.

تعیین فاصله بین: 1 - نقطه و صفحه; 2 - راست و صاف; 3 - هواپیما; 4- عبور از خطوط مستقیم با هم در نظر گرفته می شود، زیرا الگوریتم حل برای همه این مسائل اساساً یکسان است و از ساختارهای هندسی تشکیل شده است که برای تعیین فاصله بین نقطه A و صفحه α باید انجام شود. اگر تفاوتی وجود دارد، فقط در این واقعیت است که در موارد 2 و 3، قبل از شروع حل مسئله، باید یک نقطه دلخواه A را روی خط مستقیم m (مورد 2) یا صفحه β (مورد 3) علامت گذاری کنید. فواصل بین خطوط متقاطع، ابتدا آنها را در صفحات موازی α و β محصور می کنیم و سپس فاصله بین این صفحات را تعیین می کنیم.

اجازه دهید هر یک از موارد ذکر شده حل مسئله را در نظر بگیریم.

1. تعیین فاصله بین یک نقطه و یک صفحه.

فاصله یک نقطه تا یک صفحه با طول یک قطعه عمود بر روی یک نقطه به صفحه تعیین می شود.

بنابراین، راه حل این مشکل شامل انجام متوالی عملیات گرافیکی زیر است:

1) از نقطه A عمود بر صفحه α را پایین می آوریم (شکل 269).

2) نقطه تقاطع M این عمود را با صفحه M = a ∩ α پیدا کنید.

3) طول قطعه را تعیین کنید.

اگر صفحه α در حالت کلی باشد، برای پایین آوردن یک عمود بر روی این صفحه، ابتدا باید جهت برآمدگی های افقی و جلویی این صفحه مشخص شود. یافتن نقطه تلاقی این عمود با صفحه نیز مستلزم ساختارهای هندسی اضافی است.

اگر صفحه α موقعیت خاصی را نسبت به صفحات پیش‌بینی اشغال کند، راه‌حل مسئله ساده‌تر می‌شود. در این حالت، هر دو طرح عمود و یافتن نقطه برخورد آن با هواپیما بدون هیچ گونه سازه کمکی اضافی انجام می شود.

مثال 1. فاصله از نقطه A تا صفحه پیشانی α را تعیین کنید (شکل 270).

راه حل. از طریق A" ما طرح افقی عمود بر l" ⊥ h 0α را ترسیم می کنیم، و از طریق A" - طرح جلویی آن l" ⊥ f 0α. نقطه M" = l" ∩ f 0α را علامت گذاری می کنیم. از AM || π 2، سپس [A" M"] == |AM| = د.

از مثال در نظر گرفته شده، واضح است که وقتی هواپیما موقعیتی را اشغال می کند که چقدر ساده حل می شود. بنابراین، اگر یک صفحه موقعیت کلی در داده های منبع مشخص شده باشد، قبل از ادامه حل، صفحه باید به موقعیتی عمود بر هر صفحه طرح ریزی منتقل شود.

مثال 2. فاصله نقطه K تا صفحه مشخص شده توسط ΔАВС را تعیین کنید (شکل 271).

1. صفحه ΔАВС را به موقعیت برآمدگی * منتقل می کنیم. برای انجام این کار، از سیستم xπ 2 /π 1 به x 1 π 3 /π 1 حرکت می کنیم: جهت محور x 1 جدید عمود بر طرح افقی صفحه افقی مثلث انتخاب می شود.

2. ΔABC را بر روی صفحه جدید π 3 طرح کنید (صفحه ΔABC بر روی π 3، در [ C " 1 B " 1 ] پیش بینی می شود).

3. نقطه K را روی همان صفحه قرار دهید (K" → K" 1).

4. از طریق نقطه K" 1 ما (K" 1 M" 1)⊥ قطعه [C" 1 B" 1] را رسم می کنیم. فاصله لازم d = |K" 1 M" 1 |

اگر صفحه با ردیابی تعریف شود، راه حل مشکل ساده می شود، زیرا نیازی به ترسیم خطوط تراز نیست.

مثال 3. فاصله نقطه K تا صفحه α را که توسط مسیرها مشخص شده است، تعیین کنید (شکل 272).

* منطقی ترین راه برای انتقال صفحه مثلث به موقعیت برآمدگی، جایگزینی صفحات برآمدگی است، زیرا در این حالت فقط یک برجستگی کمکی ساخته می شود.

راه حل. صفحه π 1 را با صفحه π 3 جایگزین می کنیم، برای این یک محور جدید x 1 ⊥ f 0α رسم می کنیم. در h 0α نقطه دلخواه 1" را علامت گذاری می کنیم و طرح افقی جدید آن را روی صفحه π 3 (1" 1) تعیین می کنیم. از طریق نقاط X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) و 1" 1 h 0α 1 را ترسیم می کنیم. طرح افقی جدید نقطه K → K" 1 را تعیین می کنیم. از نقطه K" 1 عمود بر h 0α 1 را پایین می آوریم و نقطه تقاطع آن را با h 0α 1 - M" 1 مشخص می کنیم. طول قطعه K" 1 M" 1 فاصله مورد نیاز را نشان می دهد.

2. تعیین فاصله بین خط مستقیم و صفحه.

فاصله بین یک خط و یک صفحه با طول یک قطعه عمودی که از یک نقطه دلخواه روی خط به صفحه کاهش می یابد تعیین می شود (شکل 248 را ببینید).

بنابراین، راه حل مسئله تعیین فاصله بین خط مستقیم m و صفحه α تفاوتی با مثال های مطرح شده در بند 1 برای تعیین فاصله بین یک نقطه و یک صفحه ندارد (نگاه کنید به شکل 270 ... 272). به عنوان یک نقطه، می توانید هر نقطه متعلق به خط m را در نظر بگیرید.

3. تعیین فاصله بین هواپیماها.

فاصله بین صفحات با اندازه بخش عمودی که از یک نقطه از یک صفحه به صفحه دیگر کاهش می یابد تعیین می شود.

از این تعریف نتیجه می شود که الگوریتم حل مسئله یافتن فاصله بین صفحات α و β با الگوریتم مشابهی برای حل مسئله تعیین فاصله بین خط m و صفحه α تفاوت دارد فقط در آن خط m باید به صفحه α تعلق داشته باشد. ، یعنی برای تعیین فاصله بین صفحات α و β به شرح زیر است:

1) یک خط مستقیم m را در صفحه α بگیرید.

2) یک نقطه دلخواه A را در خط m انتخاب کنید.

3) از نقطه A، l عمود بر صفحه β را پایین بیاورید.

4) نقطه M را تعیین کنید - نقطه ملاقات l عمود بر صفحه β.

5) اندازه بخش را تعیین کنید.

در عمل، توصیه می شود از یک الگوریتم حل متفاوت استفاده کنید، که تنها با الگوریتم ارائه شده متفاوت است، قبل از ادامه مرحله اول، هواپیماها باید به موقعیت طرح ریزی منتقل شوند.

گنجاندن این عملیات اضافی در الگوریتم، اجرای تمام نقاط دیگر را بدون استثنا ساده می کند، که در نهایت به یک راه حل ساده تر منجر می شود.

مثال 1. فاصله بین صفحات α و β را تعیین کنید (شکل 273).

راه حل. ما از سیستم xπ 2 /π 1 به x 1 π 1 / π 3 حرکت می کنیم. با توجه به صفحه جدید π 3، صفحات α و β یک موقعیت برآمده را اشغال می کنند، بنابراین فاصله بین ردپای جلوی جدید f 0α 1 و f 0β 1 مطلوب است.

در عمل مهندسی، اغلب لازم است که مشکل ساختن یک صفحه موازی با یک صفحه معین و حذف از آن در یک فاصله معین حل شود. مثال 2 زیر راه حل چنین مشکلی را نشان می دهد.

مثال 2. اگر مشخص باشد که فاصله بین آنها d است، لازم است که یک صفحه β موازی با صفحه معین α (m || n) ساخته شود (شکل 274).

1. در صفحه α، خطوط افقی دلخواه h (1، 3) و خطوط جلو f (1،2) را رسم کنید.

2. از نقطه 1، l عمود بر صفحه α(l" ⊥ h، l" ⊥ f") را بازیابی می کنیم.

3. روی l عمود بر نقطه دلخواه A علامت می زنیم.

4. طول پاره را تعیین کنید - (موقعیت روی نمودار جهت خط مستقیم l را که از نظر متری انحراف ندارد نشان می دهد).

5. پاره = d را روی خط مستقیم (1"A 0) از نقطه 1 قرار دهید.

6. بر روی برآمدگی های l" و l" نقاط B و B، مربوط به نقطه B 0 علامت بزنید.

7. از طریق نقطه B صفحه β را رسم می کنیم (h 1 ∩ f 1). به β || α، رعایت شرط h 1 || ضروری است h و f 1 || f.

4. تعیین فاصله بین خطوط متقاطع.

فاصله بین خطوط متقاطع با طول عمود موجود بین صفحات موازی که خطوط متقاطع به آن تعلق دارند تعیین می شود.

برای ترسیم صفحات موازی متقابل α و β از طریق خطوط مستقیم متقاطع m و f، کافی است از نقطه A (A ∈ m) یک خط مستقیم p موازی با خط مستقیم f و از طریق نقطه B (B ∈ f) رسم کنیم. یک خط مستقیم k به موازات مستقیم m . خطوط متقاطع m و p، f و k صفحات موازی متقابل α و β را مشخص می کنند (شکل 248، e را ببینید). فاصله بین صفحات α و β برابر است با فاصله لازم بین خطوط عبور m و f.

راه دیگری برای تعیین فاصله بین خطوط متقاطع می توان پیشنهاد کرد که شامل این واقعیت است که با استفاده از روشی برای تبدیل برجستگی های متعامد، یکی از خطوط متقاطع به موقعیت پیش بینی منتقل می شود. در این حالت، یک طرح ریزی از خط به یک نقطه انحطاط می یابد. فاصله بین پیش بینی های جدید خطوط عبور (نقطه A" 2 و قطعه C" 2 D" 2) فاصله مورد نیاز است.

در شکل 275 راه حلی برای مسئله تعیین فاصله بین خطوط عبور a و b با توجه به بخش های [AB] و [CD] نشان می دهد. محلول به ترتیب زیر انجام می شود:

1. یکی از خطوط عبور (a) را به موقعیتی موازی با صفحه π 3 منتقل کنید. برای انجام این کار، از سیستم صفحات طرح ریزی xπ 2 / π 1 به x 1 π 1 / π 3 جدید حرکت کنید، محور x 1 موازی با طرح افقی خط مستقیم a است. a" 1 [A" 1 B" 1 ] و b" 1 را تعیین کنید.

2. با جایگزین کردن صفحه π 1 با صفحه π 4، خط مستقیم را ترجمه می کنیم.

و در موقعیت a" 2، عمود بر صفحه π 4 (محور x 2 جدید عمود بر a" 1 رسم شده است).

3. یک طرح افقی جدید از خط مستقیم b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] بسازید.

4. فاصله از نقطه A" 2 تا خط مستقیم C" 2 D" 2 (قطع (A" 2 M" 2 ] (الزم است.

باید در نظر داشت که انتقال یکی از خطوط تقاطع به موقعیت برآمدگی چیزی نیست جز انتقال صفحات موازی که خطوط a و b را می توان در آن محصور کرد، همچنین به موقعیت پیش بینی.

در واقع، با انتقال خط a به موقعیتی عمود بر صفحه π 4، اطمینان حاصل می کنیم که هر صفحه حاوی خط a بر صفحه π 4 عمود است، از جمله صفحه α که با خطوط a و m (a ∩ m, m | | ب). اگر اکنون یک خط n موازی a و خط متقاطع b رسم کنیم، صفحه β را بدست می آوریم که دومین صفحه موازی است که شامل خطوط متقاطع a و b است. از آنجایی که β || α، سپس β ⊥ π 4 .

شرایط توازی و عمود بودن

1 درجه شرط همسطح بودن دو صفحه

بگذارید دو هواپیما داده شود:

آ 1 ایکس + ب 1 y + سی 1 z + D 1 = 0, n 1 = {آ 1 ; ب 1 ; سی 1 } ≠ 0 ;(1)

آ 2 ایکس + ب 2 y + سی 2 z + D 2 = 0, n 2 = {آ 2 ; ب 2 ; سی 2 } ≠ 0 .(2)

چه زمانی آنها همسطح هستند (یعنی موازی یا همزمان)؟ بدیهی است که اگر و تنها در صورتی که بردارهای نرمال آنها به صورت هم خط باشند، این اتفاق خواهد افتاد. با اعمال معیار همسطح بودن، به دست می آوریم

جمله 1.دو صفحه همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که ضرب ضربدر بردارهای عادی آنها برابر با بردار صفر باشد:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2 درجه شرط تقارن دو هواپیما

پیشنهاد 2.صفحات (1) و (2) منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که هر چهار ضریب آنها متناسب باشند، یعنی عدد λ وجود داشته باشد به طوری که

آ 2 = λ آ 1 , ب 2 = λ ب 1 , سی 2 = λ سی 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

اثباتاجازه دهید شرایط (3) برآورده شود. سپس معادله صفحه دوم را می توان به صورت زیر نوشت:

λ آ 1 ایکس + λ ب 1 y + λ سی 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0، در غیر این صورت خواهد بود آ 2 = ب 2 = سی 2 = D 2 = 0 که با شرط تناقض دارد n 2 ≠ 0 . بنابراین، آخرین معادله معادل معادله (1) است، به این معنی که دو صفحه بر هم منطبق هستند.

برعکس، اکنون بدانیم که این هواپیماها بر هم منطبق هستند. سپس بردارهای نرمال آنها خطی هستند، یعنی یک عدد λ وجود دارد که

آ 2 = λ آ 1 , ب 2 = λ ب 1 , سی 2 = λ سی 1 .

معادله (2) اکنون می تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

λ آ 1 ایکس + λ ب 1 y + λ سی 1 z + D 2 = 0.

با ضرب معادله (1) در λ، معادله معادل اولین صفحه را به دست می آوریم (از λ ≠ 0):

λ آ 1 ایکس + λ ب 1 y + λ سی 1 z + λ D 1 = 0.

بیایید یک نکته را در نظر بگیریم ( ایکس 0 , y 0 , z 0) از صفحه اول (و بنابراین دوم) و مختصات آن را در دو معادله آخر جایگزین کنید. برابری های صحیح را بدست می آوریم:

λ آ 1 ایکس 0 + λ ب 1 y 0 + λ سی 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ آ 1 ایکس 0 + λ ب 1 y 0 + λ سی 1 z 0 + λ D 1 = 0.

با کم کردن پایین از بالا، به دست می آوریم D 2 - λ D 1 = 0، یعنی D 2 = λ D 1، QED.

3 درجه. شرط عمود بودن دو صفحه

بدیهی است که برای این امر لازم و کافی است که بردارهای عادی عمود باشند.

پیشنهاد 3.دو صفحه عمود هستند اگر و فقط در صورتی که حاصل ضرب اسکالر بردارهای عادی صفر باشد:

(n 1 , n 2) = 0 .

اجازه دهید معادله هواپیما داده شود

تبر + توسط + Cz + D = 0, n = {آ; ب; سی} ≠ 0 ,

و دوره م 0 = (ایکس 0 , y 0 , z 0). بیایید فرمول فاصله از یک نقطه تا یک صفحه را استخراج کنیم:

بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم س = (ایکس 1 , y 1 , z 1) دراز کشیدن در این هواپیما. مختصات آن معادله صفحه را برآورده می کند:

تبر 1 + توسط 1 + Cz 1 + D = 0.

اکنون توجه داشته باشید که فاصله لازم است دبرابر با قدر مطلق طرح برداری بردار است به جهت بردار n (در اینجا ما طرح ریزی را به عنوان یک کمیت عددی در نظر می گیریم نه به عنوان یک بردار). سپس فرمول را برای محاسبه پیش بینی اعمال می کنیم:

یک فرمول مشابه برای فاصله معتبر است داز نقطه م 0 = (ایکس 0 , y 0) صفحه به یک خط مستقیم که با معادله کلی داده می شود تبر + توسط + سی = 0.