راه حلاین کار را با ماشین حساب انجام دهید
مختصات مثلث داده شده است: A(2،1)، B(1،-2)، C(-1،0).
1) مختصات برداری
مختصات بردارها با فرمول بدست می آید:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

به عنوان مثال، برای بردار AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
قبل از میلاد (-2;2)
2) ماژول های بردارها

3) زاویه بین خطوط مستقیم
زاویه بین بردارهای a 1 (X 1؛ Y 1)، a 2 (X 2؛ Y 2) را می توان با فرمول پیدا کرد:

که در آن 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
زاویه بین اضلاع AB و AC را پیدا کنید

γ = arccos (0.6) = 53.13 0
4) طرح ریزی برداری
طرح ریزی برداری بدر هر بردار آرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

طرح ریزی بردار AB را بر روی بردار AC پیدا کنید

5) مساحت مثلث



راه حل


طبق فرمول بدست می آوریم:

6) تقسیم بندی از این نظر
بردار شعاع r نقطه A که قطعه AB را نسبت به AA:AB = m 1:m 2 تقسیم می کند، با فرمول تعیین می شود:

مختصات نقطه A با فرمول های زیر بدست می آید:




معادله میانه مثلث
نقطه وسط ضلع BC را با حرف M نشان می دهیم سپس مختصات نقطه M را با فرمول های تقسیم پاره به نصف می یابیم.


M(0;-1)
معادله میانه AM را با استفاده از فرمول معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، پیدا می کنیم. میانه AM از نقاط A(2;1) و M(0;-1) می گذرد، بنابراین:

یا

یا
y=x-1 یا y-x+1=0
7) معادله خط مستقیم


معادله خط AB

یا

یا
y = 3x -5 یا y -3x +5 = 0
معادله AC خط

یا

یا
y = 1 / 3 x + 1 / 3 یا 3y -x - 1 = 0
معادله خط BC

یا

یا
y = -x -1 یا y + x +1 = 0
8) طول ارتفاع مثلث رسم شده از راس A
فاصله d از نقطه M 1 (x 1؛ y 1) تا خط مستقیم Ax + By + C \u003d 0 برابر با مقدار مطلق مقدار است:

فاصله بین نقطه A(2;1) و خط BC را بیابید (y + x +1 = 0)

9) معادله ارتفاع از طریق راس C
خط مستقیمی که از نقطه M 0 (x 0; y 0) می گذرد و عمود بر خط مستقیم Ax + By + C = 0 است دارای یک بردار جهت (A; B) است و بنابراین با معادلات نشان داده می شود:


این معادله را می توان به شکل دیگری نیز یافت. برای انجام این کار، شیب k 1 خط مستقیم AB را پیدا می کنیم.
معادله AB: y = 3x -5 i.e. k 1 = 3
بیایید شیب k عمود را از شرط عمود بودن دو خط مستقیم پیدا کنیم: k 1 *k = -1.
با جایگزینی شیب این خط مستقیم به جای k 1، دریافت می کنیم:
3k = -1، از آنجا k = -1 / 3
از آنجایی که عمود از نقطه C(-1,0) می گذرد و k = -1 / 3 دارد، معادله آن را به شکل: y-y 0 = k(x-x 0) جستجو خواهیم کرد.
با جایگزینی x 0 \u003d -1، k \u003d -1 / 3، y 0 \u003d 0 دریافت می کنیم:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
یا
y = -1 / 3 x - 1 / 3
معادله نیمساز مثلث
اجازه دهید نیمساز زاویه A را پیدا کنیم. نقطه تقاطع نیمساز با ضلع BC را با M مشخص کنید.
بیایید از فرمول استفاده کنیم:

معادله AB: y -3x +5 = 0، معادله AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
نیمساز زاویه را نصف می کند، بنابراین زاویه NAK ≈ 26.5 0 است.
مماس شیب AB 3 است (زیرا y -3x +5 = 0). زاویه شیب 72 است
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg (45.5 0) = 1
نیمساز از نقطه A (2،1) عبور می کند، با استفاده از فرمول، داریم:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
یا
y=x-1
دانلود

مثال. مختصات رئوس مثلث ABC آورده شده است: A(–3; –1)، B(4; 6)، C(8; –2).
مورد نیاز: 1) محاسبه طول ضلع BC. 2) یک معادله برای ضلع BC ترسیم کنید. 3) زاویه داخلی مثلث را در راس B پیدا کنید. 4) معادله ای برای ارتفاع AK که از بالای A کشیده شده است بسازید. 5) مختصات مرکز ثقل یک مثلث همگن (نقطه تقاطع میانه های آن) را پیدا کنید. 6) یک نقاشی در سیستم مختصات انجام دهید.

ورزش. با توجه به مختصات رئوس مثلث ABC: A(7;4)، B(-9;-8)، C(-2;16). ضروری:

1. معادله ای برای میانه رسم شده از راس B بنویسید و طول آن را محاسبه کنید.
2. معادله ای برای ارتفاع رسم شده از راس A بنویسید و طول آن را محاسبه کنید.
3. کسینوس زاویه داخلی B مثلث ABC را پیدا کنید.

مثال شماره 3. رئوس A(1;1)، B(7;4)، C(4;5) یک مثلث داده شده است. پیدا کنید: 1) طول ضلع AB. 2) زاویه داخلی A بر حسب رادیان با دقت 001/0. یک نقاشی بکشید.
دانلود

مثال شماره 4. رئوس A(1;1)، B(7;4)، C(4;5) یک مثلث داده شده است. پیدا کنید: 1) معادله ارتفاع رسم شده از طریق راس C. 2) معادله میانه رسم شده از طریق راس C. 3) نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث؛ 4) طول ارتفاع کاهش یافته از راس C. یک نقاشی بکشید.
دانلود

مثال شماره 5. رئوس مثلث ABC داده شده است: A(-5;0)، B(7;-9)، C(11;13). تعیین: 1) طول ضلع AB. 2) معادله اضلاع AB و AC و شیب آنها. 3) مساحت مثلث.

مختصات بردارها را با فرمول پیدا می کنیم: X = x j - x i ; Y = y j - y i
در اینجا مختصات X,Y بردار. x i , y i - مختصات نقطه A i ; x j، y j - مختصات نقطه A j
به عنوان مثال، برای بردار AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9)، AC(16;13)، BC (4;22).

ورزش. با توجه به مختصات رئوس هرم ABCD. ضروری:

1. بردارها را در سیستم ort بنویسید و ماژول های این بردارها را پیدا کنید.
2. زاویه بین بردارها را پیدا کنید.
3. طرح ریزی یک بردار را بر روی یک بردار پیدا کنید.
4. ناحیه صورت ABC را پیدا کنید.
5. حجم هرم ABCD را پیدا کنید.

ورزش. زاویه تند بین خطوط x + y -5 = 0 و x + 4y - 8 = 0 را پیدا کنید.
توصیه هایی برای راه حل. مشکل با استفاده از سرویس زاویه بین دو خط حل شده است.
پاسخ: 30.96o

مثال شماره 1. مختصات نقاط A1(1;0;2)، A2(2;1;1)، A3(-1;2;0)، A4(-2;-1;-1) داده شده است. طول لبه A1A2 را پیدا کنید. برای لبه A1A4 و وجه A1A2A3 معادله بنویسید. معادله ای برای ارتفاع کاهش یافته از نقطه A4 به صفحه A1A2A3 بنویسید. مساحت مثلث A1A2A3 را پیدا کنید. حجم هرم مثلثی A1A2A3A4 را پیدا کنید.

مختصات بردارها را با فرمول پیدا می کنیم: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
در اینجا مختصات X,Y,Z بردار. x i , y i , z i - مختصات نقطه A i ; x j , y j , z j - مختصات نقطه A j ;
بنابراین، برای بردار A 1 A 2 آنها به صورت زیر خواهند بود:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
طول بردار a(X;Y;Z) بر حسب مختصات آن با فرمول بیان می شود:

چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟
مشکل معمولی مثلث در هواپیما

این درس در مورد رویکرد به استوا بین هندسه صفحه و هندسه فضا ایجاد شده است. در حال حاضر، نیاز به سیستماتیک کردن اطلاعات انباشته شده و پاسخ به یک سوال بسیار مهم وجود دارد: چگونه حل مسائل هندسه تحلیلی را یاد بگیریم؟مشکل در این واقعیت است که تعداد بی نهایت مسئله در هندسه وجود دارد و هیچ کتاب درسی نمی تواند شامل نمونه های متعدد و متنوع باشد. نیست مشتق تابعبا پنج قانون تمایز، یک جدول و چند تکنیک….

راه حلی وجود دارد! من سخنان بلندی نمی گویم که نوعی تکنیک بزرگ را توسعه داده ام، با این حال، به نظر من، یک رویکرد موثر برای مشکل مورد بررسی وجود دارد، که اجازه می دهد حتی یک کتری کامل به نتایج خوب و عالی برسد. حداقل، الگوریتم کلی برای حل مسائل هندسی به وضوح در ذهن من شکل گرفت.

آنچه شما باید بدانید و بتوانید
برای حل موفقیت آمیز مسائل در هندسه؟

هیچ دوری از این وجود ندارد - برای اینکه به طور تصادفی دکمه ها را با بینی خود فشار ندهید، باید بر اصول هندسه تحلیلی تسلط داشته باشید. بنابراین، اگر به تازگی مطالعه هندسه را شروع کرده اید یا به طور کامل آن را فراموش کرده اید، لطفاً از درس شروع کنید. وکتور برای آدمک. علاوه بر بردارها و اقدامات با آنها، شما باید مفاهیم اساسی هندسه صفحه را بدانید، به ویژه، معادله یک خط مستقیم در یک صفحهو . هندسه فضا با مقالات نشان داده می شود معادله صفحه, معادلات یک خط مستقیم در فضا، کارهای اساسی در خط و هواپیما و چند درس دیگر. خطوط منحنی و سطوح فضایی مرتبه دوم تا حدودی از هم جدا هستند و مشکلات خاصی در آنها وجود ندارد.

فرض کنید دانش آموزی از قبل دانش و مهارت های ابتدایی در حل ساده ترین مسائل هندسه تحلیلی دارد. اما اینطوری می شود: شرط مشکل را می خوانی، و ... می خواهی کل موضوع را ببندی، به گوشه ای دور بیندازی و فراموشش کنی، مثل یک کابوس. علاوه بر این ، این اساساً به سطح صلاحیت شما بستگی ندارد ، من خودم هر از گاهی با کارهایی روبرو می شوم که راه حل آنها واضح نیست. در چنین مواقعی چگونه باید عمل کرد؟ نیازی نیست از کاری که متوجه نمی شوید بترسید!

اولا، باید تنظیم شود آیا این یک مشکل "مسطح" یا فضایی است؟به عنوان مثال، اگر بردارهایی با دو مختصات در شرایط ظاهر شوند، البته این هندسه صفحه است. و اگر معلم شنونده سپاسگزار را با یک هرم بارگذاری کند، هندسه فضا به وضوح وجود دارد. نتایج مرحله اول در حال حاضر بسیار خوب است، زیرا ما موفق شدیم حجم عظیمی از اطلاعات غیر ضروری را برای این کار قطع کنیم!

دومین. این شرایط، به عنوان یک قاعده، شما را با برخی از شکل های هندسی مرتبط می کند. در واقع، در راهروهای دانشگاه بومی خود قدم بزنید، چهره های مضطرب زیادی خواهید دید.

در مسائل "مسطح"، بدون ذکر نقاط و خطوط واضح، محبوب ترین شکل یک مثلث است. ما آن را با جزئیات زیاد تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بعد متوازی الاضلاع می آید و مستطیل، مربع، لوزی، دایره و سایر اشکال بسیار کمتر رایج هستند.

در کارهای فضایی، همان فیگورهای مسطح + خود هواپیماها و اهرام مثلثی معمولی با متوازی الاضلاع می توانند پرواز کنند.

سوال دوم - آیا همه چیز را در مورد این چهره می دانید؟فرض کنید شرط مربوط به یک مثلث متساوی الساقین است، و شما به طور مبهم به یاد می آورید که چه نوع مثلثی است. کتاب درسی مدرسه را باز می کنیم و در مورد مثلث متساوی الساقین می خوانیم. چیکار کنم ... دکتر گفت لوزی پس لوزی. هندسه تحلیلی هندسه تحلیلی است، اما این مسئله به حل ویژگی های هندسی خود شکل ها کمک می کنداز برنامه درسی مدرسه برای ما شناخته شده است. اگر ندانید مجموع زوایای یک مثلث چقدر است، ممکن است برای مدت طولانی رنج بکشید.

سوم. همیشه سعی کنید نقشه را دنبال کنید(در یک پیش نویس / تمیز / ذهنی)، حتی اگر این مورد نیاز نباشد. در کارهای "مسطح"، اقلیدس خود دستور داد که یک خط کش با مداد در دست بگیرند - و نه تنها به منظور درک شرایط، بلکه به منظور آزمایش خود. در این مورد، راحت ترین مقیاس 1 واحد = 1 سانتی متر (2 سلول تتراد) است. بیایید در مورد دانش آموزان و ریاضیدانان سهل انگار که در قبر خود می چرخند صحبت نکنیم - اشتباه کردن در چنین مسائلی تقریباً غیرممکن است. برای کارهای فضایی، یک نقشه شماتیک انجام می دهیم که به تجزیه و تحلیل شرایط نیز کمک می کند.

یک نقشه یا طرح شماتیک اغلب بلافاصله به شما امکان می دهد راه حل مشکل را ببینید. البته برای این کار باید پایه هندسه را بدانید و خصوصیات اشکال هندسی را برش دهید (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید).

چهارم. توسعه یک الگوریتم حل. بسیاری از مسائل هندسی چند پاسی هستند، بنابراین شکستن راه حل و طراحی آن به نقاط بسیار راحت است. اغلب، الگوریتم بلافاصله پس از خواندن شرط یا تکمیل نقشه به ذهن خطور می کند. در صورت بروز مشکلات، با QUESTION مشکل شروع می کنیم. به عنوان مثال، با توجه به شرط "لازم به ساخت یک خط مستقیم است ...". در اینجا منطقی ترین سوال این است: "چه چیزی برای ساخت این خط کافی است؟" فرض کنید، "ما نقطه را می دانیم، باید بردار جهت را بدانیم." ما این سوال را مطرح می کنیم: "چگونه این بردار جهت را پیدا کنیم؟ جایی که؟" و غیره.

گاهی اوقات یک "پلاگین" وجود دارد - کار حل نمی شود و تمام. دلایل توقف می تواند موارد زیر باشد:

- شکاف جدی در دانش ابتدایی. به عبارت دیگر، شما چیز بسیار ساده ای را نمی دانید یا (و) نمی بینید.

- ناآگاهی از خواص اشکال هندسی.

- کار سختی بود. بله، این اتفاق می افتد. ساعت ها بخار دادن و اشک جمع کردن در دستمال فایده ای ندارد. از معلم، دانش‌آموزان خود بپرسید یا در انجمن سؤالی بپرسید. علاوه بر این، بهتر است بیانیه آن را ملموس کنید - در مورد آن قسمت از راه حل که نمی فهمید. فریادی به شکل "چگونه مشکل را حل کنیم؟" خوب به نظر نمی رسد... و مهمتر از همه، برای شهرت خودتان.

مرحله پنجم. حل می کنیم - چک می کنیم، حل می کنیم - بررسی می کنیم، حل می کنیم - بررسی می کنیم - جواب می دهیم. بررسی هر مورد از کار مفید است بلافاصله پس از انجام آن. این به شما کمک می کند تا بلافاصله خطا را پیدا کنید. به طور طبیعی، هیچ کس حل سریع کل مشکل را منع نمی کند، اما خطر بازنویسی مجدد همه چیز (اغلب چندین صفحه) وجود دارد.

شاید در اینجا همه ملاحظات اصلی وجود دارد که توصیه می شود هنگام حل مشکلات از آنها راهنمایی بگیرید.

بخش عملی درس با هندسه در یک صفحه نمایش داده می شود. فقط دو مثال وجود خواهد داشت، اما کافی به نظر نمی رسد =)

بیایید از طریق رشته الگوریتمی که من در کار علمی کوچک خود مرور کردم بگذریم:

مثال 1

سه رأس متوازی الاضلاع آورده شده است. بالا را پیدا کنید.

بیایید شروع به کشف آن کنیم:

گام یک: واضح است که ما در مورد یک مشکل "تخت" صحبت می کنیم.

گام دوم: مشکل در مورد متوازی الاضلاع است. همه چنین شکل متوازی الاضلاع را به خاطر دارند؟ نیازی به لبخند نیست، بسیاری از افراد در سنین 30-40-50 سال یا بیشتر تحصیل کرده اند، بنابراین حتی حقایق ساده را می توان از حافظه پاک کرد. تعریف متوازی الاضلاع در مثال شماره 3 درس آمده است وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری.

مرحله سوم: بیایید یک نقاشی بکشیم که روی آن سه راس شناخته شده را مشخص کنیم. خنده دار است که به راحتی می توان بلافاصله نقطه مورد نظر را ساخت:

البته ساخت و ساز خوب است، اما راه حل باید به صورت تحلیلی رسمی شود.

مرحله چهارم: توسعه یک الگوریتم حل. اولین چیزی که به ذهن می رسد این است که یک نقطه را می توان به عنوان محل تلاقی خطوط پیدا کرد. معادلات آنها برای ما ناشناخته است، بنابراین باید به این موضوع بپردازیم:

1) اضلاع مقابل موازی هستند. با امتیاز بردار جهت این اضلاع را پیدا کنید. این ساده ترین کاری است که در درس در نظر گرفته شده است. وکتور برای آدمک.

توجه داشته باشید: گفتن معادله خط مستقیم حاوی ضلع صحیح تر است، اما از این پس برای اختصار از عبارت های معادله ضلع، بردار جهت دهنده ضلع و ... استفاده می کنم.

3) اضلاع مقابل موازی هستند. از نقاط بردار جهت این اضلاع را می یابیم.

4) معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بسازید

در پاراگراف های 1-2 و 3-4 در واقع یک مشکل را دو بار حل کردیم، اتفاقاً در مثال شماره 3 درس تحلیل شده است. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. می توان راه طولانی تری را طی کرد - ابتدا معادلات خطوط را پیدا کنید و تنها سپس بردارهای جهت را از آنها "بیرون بکشید".

5) اکنون معادلات خطوط مشخص است. باقی مانده است که سیستم معادلات خطی مربوطه را بسازید و حل کنید (به مثال های شماره 4، 5 همان درس مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما).

نقطه پیدا شد

کار بسیار ساده است و راه حل آن واضح است، اما راه کوتاه تری وجود دارد!

راه دوم برای حل:

مورب های متوازی الاضلاع با نقطه تقاطع خود نصف می شوند. من نقطه را مشخص کردم، اما برای اینکه نقاشی را به هم نریزم، قطرها را خودم نکشیدم.

معادله طرف را به نقطه بسازید :

برای بررسی، ذهنی یا روی پیش نویس، مختصات هر نقطه را در معادله حاصل جایگزین کنید. حالا بیایید شیب را پیدا کنیم. برای انجام این کار، معادله کلی را به شکل یک معادله با شیب بازنویسی می کنیم:

بنابراین فاکتور شیب:

به همین ترتیب، معادلات اضلاع را پیدا می کنیم. من اهمیت زیادی در نقاشی یک چیز نمی بینم، بنابراین بلافاصله نتیجه نهایی را ارائه می دهم:

2) طول ضلع را پیدا کنید. این ساده ترین کار مورد بحث در درس است. وکتور برای آدمک. برای امتیاز ما از فرمول استفاده می کنیم:

با استفاده از همین فرمول، به راحتی می توان طول اضلاع دیگر را پیدا کرد. بررسی بسیار سریع با یک خط کش معمولی انجام می شود.

ما از فرمول استفاده می کنیم .

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

به این ترتیب:

اتفاقاً در طول مسیر، طول اضلاع را پیدا کردیم.

در نتیجه:

خوب، به نظر می رسد درست است، برای متقاعدسازی، می توانید یک نقاله را به گوشه وصل کنید.

توجه! زاویه مثلث را با زاویه بین خطوط مستقیم اشتباه نگیرید. زاویه یک مثلث می تواند مبهم باشد، اما زاویه بین خطوط مستقیم اینطور نیست (به آخرین پاراگراف مقاله مراجعه کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما). اما برای پیدا کردن زاویه یک مثلث می توانید از فرمول های درس بالا نیز استفاده کنید، اما ناهمواری این است که آن فرمول ها همیشه یک زاویه تند می دهند. با کمک آنها این مشکل را در یک پیش نویس حل کردم و به نتیجه رسیدم. و در نسخه تمیز، باید بهانه های اضافی را بنویسید.

4) معادله خط مستقیمی که از نقطه ای موازی با خط مستقیم می گذرد را بنویسید.

تکلیف استاندارد که در مثال شماره 2 درس به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله کلی یک خط مستقیم بردار جهت را بیرون بکشید. بیایید معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار هدایت کننده بسازیم:

چگونه ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟

5) معادله ارتفاع را بسازیم و طول آن را پیدا کنیم.

هیچ راه فراری از تعاریف دقیق وجود ندارد، بنابراین باید از کتاب درسی مدرسه بدزدید:

ارتفاع مثلث عمود رسم شده از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل نامیده می شود.

یعنی باید معادله عمود رسم شده از راس به ضلع را درست کرد. این تکلیف در مثال های شماره 6، 7 درس در نظر گرفته شده است ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. از معادله بردار معمولی را حذف کنید معادله ارتفاع نقطه و بردار جهت را می سازیم:

لطفا توجه داشته باشید که ما مختصات نقطه را نمی دانیم.

گاهی معادله ارتفاع از نسبت شیب خطوط عمود بر هم بدست می آید: . در این صورت، پس: . معادله ارتفاع یک نقطه و یک شیب را می سازیم (به ابتدای درس مراجعه کنید معادله یک خط مستقیم در یک صفحه):

طول ارتفاع را به دو صورت می توان یافت.

یک راه دور وجود دارد:

الف) پیدا کردن - نقطه تقاطع ارتفاع و سمت.
ب) طول پاره را با دو نقطه شناخته شده بیابید.

اما در کلاس ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیمایک فرمول مناسب برای فاصله از یک نقطه تا یک خط در نظر گرفته شد. نقطه مشخص است: , معادله خط نیز شناخته شده است: ، به این ترتیب:

6) مساحت مثلث را محاسبه کنید. در فضا، مساحت یک مثلث به طور سنتی با استفاده از محاسبه می شود حاصل ضرب بردارها، اما در اینجا یک مثلث در صفحه داده شده است. ما از فرمول مدرسه استفاده می کنیم:
مساحت مثلث نصف حاصل ضرب قاعده آن ضربدر ارتفاع آن است.

در این مورد:

چگونه میانه یک مثلث را پیدا کنیم؟

7) معادله میانه را بسازید.

وسط مثلث پاره خطی که راس مثلث را به نقطه وسط ضلع مقابل می پیوندد نامیده می شود.

الف) یک نقطه پیدا کنید - نقطه وسط طرف. ما استفاده می کنیم فرمول مختصات نقطه میانی. مختصات انتهای بخش مشخص است: ، سپس مختصات وسط:

به این ترتیب:

معادله میانه را بر اساس نقطه می سازیم :

برای بررسی معادله، باید مختصات نقاط را در آن جایگزین کنید.

8) نقطه تقاطع ارتفاع و میانه را پیدا کنید. فکر می کنم همه قبلاً یاد گرفته اند که چگونه این عنصر اسکیت بازی را بدون افتادن انجام دهند:

وظیفه 1. مختصات رئوس مثلث ABC آورده شده است: A(4; 3)، B(16;-6)، C(20; 16). پیدا کنید: 1) طول ضلع AB. 2) معادلات اضلاع AB و BC و شیب آنها. 3) زاویه B بر حسب رادیان با دقت دو رقم اعشار. 4) معادله ارتفاع CD و طول آن. 5) معادله میانه AE و مختصات نقطه K تقاطع این میانه با ارتفاع CD. 6) معادله خط مستقیمی که از نقطه K موازی با ضلع AB می گذرد. 7) مختصات نقطه M که به طور متقارن به نقطه A نسبت به خط مستقیم CD قرار دارد.

راه حل:

1. فاصله d بین نقاط A(x 1 ,y 1) و B(x 2 ,y 2) با فرمول تعیین می شود

با اعمال (1)، طول ضلع AB را پیدا می کنیم:

2. معادله یک خط مستقیم که از نقاط A (x 1, y 1) و B (x 2, y 2) می گذرد شکل دارد.

(2)

با جایگزینی مختصات نقاط A و B در (2) معادله ضلع AB را بدست می آوریم:

پس از حل آخرین معادله برای y، معادله ضلع AB را به صورت یک معادله خط مستقیم با شیب پیدا می کنیم:

جایی که

با جایگزینی مختصات نقاط B و C در (2) معادله خط مستقیم BC را بدست می آوریم:

یا

3. معلوم است که مماس زاویه بین دو خط مستقیم که ضرایب زاویه ای آنها به ترتیب برابر است و با فرمول محاسبه می شود.

(3)

زاویه مورد نظر B توسط خطوط مستقیم AB و BC تشکیل می شود که ضرایب زاویه ای آنها پیدا می شود: با اعمال (3) به دست می آوریم.

یا خوشحالم

4. معادله یک خط مستقیم که از نقطه معینی در یک جهت معین می گذرد شکل دارد

(4)

ارتفاع CD بر ضلع AB عمود است. برای یافتن شیب ارتفاع CD از شرط عمود بودن خطوط استفاده می کنیم. از آن به بعد با جایگزینی (4) مختصات نقطه C و ضریب زاویه ای پیدا شده ارتفاع، به دست می آوریم

برای یافتن طول CD ارتفاع، ابتدا مختصات نقطه D - نقطه تلاقی خطوط AB و CD را تعیین می کنیم. حل سیستم با هم:

پیدا کردن آن ها D (8; 0).

با استفاده از فرمول (1)، طول CD ارتفاع را پیدا می کنیم:

5. برای یافتن معادله میانه AE ابتدا مختصات نقطه E را که نقطه وسط ضلع BC است با استفاده از فرمول های تقسیم قطعه به دو قسمت مساوی تعیین می کنیم:

(5)

در نتیجه،

با جایگزینی مختصات نقاط A و E در (2) معادله میانه را پیدا می کنیم:

برای یافتن مختصات نقطه تقاطع ارتفاع CD و میانه AE به طور مشترک سیستم معادلات را حل می کنیم.

ما پیدا می کنیم .

6. از آنجایی که خط مورد نظر با ضلع AB موازی است، شیب آن برابر با شیب خط AB خواهد بود. با جایگزینی در (4) مختصات نقطه پیدا شده K و شیب به دست می آوریم

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. از آنجایی که خط AB بر خط CD عمود است، نقطه M مورد نظر که به طور متقارن به نقطه A نسبت به خط CD قرار دارد، روی خط AB قرار دارد. علاوه بر این، نقطه D نقطه وسط قطعه AM است. با استفاده از فرمول (5)، مختصات نقطه مورد نظر M را پیدا می کنیم:

مثلث ABC، CD ارتفاع، میانه AE، خط KF و نقطه M در سیستم مختصات xOy در شکل. یکی

وظیفه 2. معادله ای برای مکان نقاط بنویسید که نسبت فواصل آن به یک نقطه معین A (4؛ 0) و به یک خط مستقیم معین x \u003d 1 برابر با 2 است.

راه حل:

در سیستم مختصات xOy، نقطه A(4;0) و خط مستقیم x = 1 را می سازیم. فرض کنید M(x;y) یک نقطه دلخواه از مکان نقاط مورد نظر باشد. اجازه دهید MB عمود بر خط داده شده x = 1 را رها کنیم و مختصات نقطه B را تعیین کنیم. از آنجایی که نقطه B روی خط داده شده قرار دارد، ابسیسا آن برابر است با 1. مختصات نقطه B برابر است با مختصات از نقطه M. بنابراین، B(1; y) (شکل 2).

با شرط مشکل |MA|: |MV| = 2. فاصله ها |MA| و |MB| با فرمول (1) مسئله 1 پیدا می کنیم:

با مجذور کردن ضلع چپ و راست، به دست می آوریم

یا

معادله به دست آمده یک هذلولی است که در آن نیم محور واقعی a = 2 و یک محور فرضی برابر است با

اجازه دهید کانون های هذلولی را تعریف کنیم. برای یک هذلولی، برابری برآورده می شود کانون های هذلولی هستند. همانطور که می بینید، نقطه داده شده A(4;0) کانون درست هذلولی است.

اجازه دهید خروج از مرکز هذلولی حاصل را تعیین کنیم:

معادلات مجانبی هذلولی شکل و . بنابراین، یا و مجانبی از هذلولی هستند. قبل از ساخت هذلولی، مجانب آن را می سازیم.

وظیفه 3. معادله ای برای مکان نقاط مساوی از نقطه A (4؛ 3) و خط مستقیم y \u003d 1 بنویسید. معادله حاصل را به ساده ترین شکل آن کاهش دهید.

راه حل:فرض کنید M(x; y) یکی از نقاط مکان مورد نظر باشد. اجازه دهید عمود MB را از نقطه M به خط داده شده y = 1 رها کنیم (شکل 3). مختصات نقطه B را مشخص می کنیم. بدیهی است که ابسیسا نقطه B برابر با ابسیسا نقطه M است و مختصات نقطه B برابر با 1 است، یعنی B (x؛ 1). با شرط مشکل |MA|=|MV|. بنابراین، برای هر نقطه M (x; y) متعلق به مکان مورد نظر، برابری صادق است:

معادله به دست آمده یک سهمی را با راس در یک نقطه تعریف می کند. برای کاهش معادله سهمی به ساده ترین شکل آن، y + 2 = Y را تنظیم می کنیم سپس معادله سهمی شکل می گیرد: