दशमलव के साथ संचालन। भिन्न कैलकुलेटर: भिन्नों के साथ समीकरण हल करें एक कॉलम में समाधान अल्पविराम के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर

सरल अंकगणितीय संक्रियाएँ बच्चों को सटीक विज्ञान सिखाने का आधार हैं। गणित जीवन भर हर जगह लोगों का साथ देता है, और इसलिए इसे शुरू से ही समझना महत्वपूर्ण है। एक कॉलम में दशमलव अंशों का घटाव कई छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करता है, जबकि वे अभाज्य संख्याओं के साथ संचालन के साथ एक उत्कृष्ट काम करते हैं। वास्तव में, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - मुख्य बात समाधान एल्गोरिथ्म को समझना है।

कॉलम में दशमलव कैसे घटाएं

दशमलव अंश लिखते समय, संख्याओं के निचले और ऊपरी अंक एक-दूसरे के अनुरूप होने चाहिए: पूर्णांक के तहत पूर्णांक, दसवें के नीचे दसवां, सौवें के नीचे सौवां, हज़ारवां के नीचे हज़ारवां

दशमलव अंशों के साथ क्रियाओं को उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक अंशों के साथ किया जाता है। कॉलम में घटाव के उदाहरणों को हल करते समय मुख्य नियम जो जानना महत्वपूर्ण है:

1. सबसे पहले, आपको दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना चाहिए। यह शून्य जोड़कर किया जाता है। उदाहरण के लिए, आपको भिन्न 5.5 में से संख्या 2.03 को घटाना होगा। जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, दशमलव स्थानों की संख्या भिन्न है। उन्हें समान बनाने के लिए, अंत में 5.5 (पांच अंक पांच) के अंश में शून्य जोड़ें और 5.50 (पांच अंक पचास सौवां) प्राप्त करें। यह नियम साधारण भिन्नों को घटाने के नियमों का अनुसरण करता है। जैसा कि आप जानते हैं, भिन्न हर वाले भिन्न को जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता है। सबसे पहले, उन्हें एक सामान्य भाजक के रूप में कम किया जाना चाहिए। ऊपर के उदाहरण में, दशमलव को 5 5/10 और 2 3/100 के रूप में लिखा जा सकता है। पूर्णांकों से आपको पूर्णांकों को भिन्नात्मक - भिन्नात्मक से घटाना होगा। उदाहरण में, भिन्नों के हर भिन्न हैं, सबसे छोटा सामान्य हर 100 है। इसलिए, अंश 5/10 के अंश और हर को 10 से गुणा किया जाना चाहिए, परिणामस्वरूप हमें 50/100 मिलता है, जिसका अनुवाद करने पर दशमलव भिन्न में, 5.50 जैसा दिखेगा।
2. संख्याओं को इस प्रकार लिखें कि निचले वाले का अल्पविराम उसी स्थान पर हो जहां ऊपरी वाला अल्पविराम हो। अल्पविराम से शुरू होने वाली संख्याओं को लिखना सबसे आसान है। ऊपर और नीचे दो अल्पविराम लगाएं, और फिर दोनों तरफ के पात्रों को पेंट करें। वैसे, यह नियम, साधारण अंशों को घटाने के लिए एक ही नियम के आधार पर संचालित होता है - पूर्णांकों को पूर्ण से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक को भिन्नात्मक से घटाया जाता है। परिणाम में अल्पविराम शीर्ष दो के ठीक नीचे स्थित होना चाहिए।
3. अल्पविराम को अनदेखा करते हुए कार्रवाई करें। दशमलव अंशों को दाएँ से बाएँ घटाएँ, यानी दशमलव बिंदु के बाद सबसे दाहिने अंक से शुरू करें।
4. अपने उत्तर में अल्पविराम के नीचे अल्पविराम लगाएं। तो हम गणना के परिणाम को सही ढंग से प्रतिबिंबित कर सकते हैं।

घटाव को हमेशा जोड़ द्वारा जांचा जा सकता है।

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वीडियो: कॉलम में दशमलव अंशों को कैसे घटाएं

इस सरल क्रिया में महारत हासिल करने के बाद, बच्चे भविष्य में बेहतर अध्ययन कर पाएंगे, क्योंकि दशमलव अंशों के उदाहरण न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान में भी हल किए जाते हैं। मुख्य बात एल्गोरिथ्म को समझना है।

ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर आपको अंशों के साथ सरल अंकगणितीय संचालन करने की अनुमति देता है: अंशों का जोड़, अंशों का घटाव, अंशों का गुणा, अंशों का विभाजन। गणना करने के लिए, दो भिन्नों के अंश और हर के अनुरूप फ़ील्ड भरें।

गणित में अंशकिसी इकाई के किसी भाग या उसके कई भागों को निरूपित करने वाली संख्या कहलाती है।

एक सामान्य अंश को दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है, जो आमतौर पर एक क्षैतिज रेखा से अलग होती है, जो विभाजन चिह्न को दर्शाती है। बार के ऊपर की संख्या को अंश कहा जाता है। बार के नीचे की संख्या को हर कहा जाता है। एक भिन्न का हर बराबर भागों की संख्या को दर्शाता है जिसमें पूर्ण विभाजित होता है, और अंश का अंश पूर्ण के इन भागों की संख्या को दर्शाता है।

अंश सही और गलत हैं।

• एक सही भिन्न वह है जिसका अंश हर से कम है।
• एक अनुचित अंश तब होता है जब अंश हर से बड़ा होता है।

मिश्रित भिन्न वह भिन्न होती है जिसे पूर्ण संख्या और उचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है, और इसे इस संख्या और भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझा जाता है। तदनुसार, जिस भिन्न का पूर्णांक भाग नहीं होता है उसे साधारण भिन्न कहा जाता है। किसी भी मिश्रित भिन्न को अनुचित साधारण भिन्न में बदला जा सकता है।

मिश्रित भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने के लिए, पूर्णांक भाग और हर के गुणनफल को भिन्न के अंश में जोड़ना आवश्यक है:

साधारण भिन्न को मिश्रित भिन्न में कैसे बदलें

साधारण भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. किसी भिन्न के अंश को उसके हर से भाग दें
2. विभाजन का परिणाम पूर्णांक भाग होगा
3. शाखा का शेष अंश अंश होगा

सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें

किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आपको उसके अंश को हर से विभाजित करना होगा।

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलने के लिए, आपको यह करना होगा:

भिन्न को प्रतिशत में कैसे बदलें

एक साधारण या मिश्रित भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए, आपको इसे दशमलव भिन्न में बदलना होगा और 100 से गुणा करना होगा।

प्रतिशत को भिन्न में कैसे बदलें

प्रतिशत को भिन्नों में बदलने के लिए, प्रतिशत से एक दशमलव अंश प्राप्त करना आवश्यक है (100 से विभाजित), फिर परिणामी दशमलव अंश को एक साधारण में परिवर्तित करें।

भिन्नों का जोड़

दो भिन्नों को जोड़ने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. उनके अंशों को जोड़कर भिन्नों को जोड़ें।

भिन्नों का घटाव

दो भिन्नों को घटाते समय क्रियाओं का एल्गोरिथ्म:

1. मिश्रित भिन्नों को सामान्य भिन्नों में बदलें (पूर्णांक भाग से छुटकारा पाएं)।
2. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। ऐसा करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश और हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करना होगा, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करना होगा।
3. पहले के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाकर एक भिन्न को दूसरे से घटाएं।
4. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) खोजें और अंश और हर को GCD से विभाजित करके अंश को कम करें।
5. यदि अंतिम भिन्न का अंश हर से बड़ा है, तो पूरे भाग का चयन करें।

भिन्नों का गुणन

दो भिन्नों को गुणा करते समय क्रियाओं का एल्गोरिथ्म:

1. मिश्रित भिन्नों को सामान्य भिन्नों में बदलें (पूर्णांक भाग से छुटकारा पाएं)।
2. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) खोजें और अंश और हर को GCD से विभाजित करके अंश को कम करें।
3. यदि अंतिम भिन्न का अंश हर से बड़ा है, तो पूरे भाग का चयन करें।

भिन्नों का विभाजन

दो अंशों को विभाजित करते समय क्रियाओं का एल्गोरिथ्म:

1. मिश्रित भिन्नों को सामान्य भिन्नों में बदलें (पूर्णांक भाग से छुटकारा पाएं)।
2. भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न को उसके अंश और हर की अदला-बदली करके परिवर्तित करना होगा, और फिर भिन्नों को गुणा करना होगा।
3. पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से और पहली भिन्न के हर को दूसरे के हर से गुणा करें।
4. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) खोजें और अंश और हर को GCD से विभाजित करके अंश को कम करें।
5. यदि अंतिम भिन्न का अंश हर से बड़ा है, तो पूरे भाग का चयन करें।

ऑनलाइन कैलकुलेटर और कन्वर्टर्स:

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है।

सबसे पहले, हम इन दो अंशों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों के नीचे होना चाहिए, और भिन्नात्मक अंशों के नीचे होना चाहिए। स्कूल में, इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" .

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो:

हम भिन्नात्मक भाग जोड़ते हैं: 2 + 3 = 5. हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" :

उत्तर मिला 8.5. तो व्यंजक 3.2 + 5.3 8.5 . के बराबर है

3,2 + 5,3 = 8,5

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी, नुकसान हैं, जिनके बारे में हम अब बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें स्थान, सौवें स्थान, हजारवें स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दूसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद सौवें स्थान के लिए, तीसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद हजारवें स्थान के लिए है।

दशमलव भिन्न में अंक कुछ जमा करते हैं उपयोगी जानकारी. विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें हिस्से हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 . पर विचार करें

वह स्थान जहाँ त्रिगुण स्थित होता है, कहलाता है दसवां स्थान

वह स्थान जहाँ चार स्थित होते हैं, कहलाते हैं सौवां स्थान

वह स्थान जहाँ पाँच स्थित होते हैं, कहलाते हैं हजारवें

चलो देखते है इस चित्र. हम देखते हैं कि दसवीं की श्रेणी में एक तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दहाई होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, और फिर हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 . प्राप्त होता है

हमें पहले उत्तर मिला, लेकिन इसे दशमलव में बदल दिया और 0.345 प्राप्त किया।

दशमलव जोड़ना सामान्य संख्याओं को जोड़ने के समान नियमों का पालन करता है। दशमलव अंशों का जोड़ अंकों से होता है: दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

अतः दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम". अल्पविराम के तहत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 . का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों 1 + 3 = 4 को जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चारों को लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

उत्तर मिला 4.9. अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 . है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग, अर्थात् सौवां 1+2=3 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दसवां हिस्सा जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब सारे भाग 3+1=4 जोड़ें। हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करते हैं:

उत्तर मिला 4.73। अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 . है

3,51 + 1,22 = 4,73

सामान्य संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, एक अंक उत्तर में लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.65 + 3.27

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का सौवां भाग जोड़ें। हमारे उत्तर के सौवें भाग में संख्या 12 फिट नहीं होगी। इसलिए, सौवें भाग में, हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 के दहाई को जोड़ते हैं और पिछले ऑपरेशन से हमें जो इकाई मिली है, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें में संख्या 9 लिखते हैं:

अब सारे भाग 2+3=5 डाल दें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

उत्तर मिला 5.92। अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 . है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 . का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक में स्थानांतरित करते हैं। अंश:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 9+2=11 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 12.3. अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 . है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान करें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि भिन्न 1.7 में केवल एक होता है। तो 1.7 के अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1,700 प्राप्त होता है। अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना करना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हज़ारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हजारवें भाग में 5 अंक लिखते हैं:

2+0=2 का सौवां भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दसवां हिस्सा जोड़ें। संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं होगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 12+1=13 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 14,425। अतः व्यंजक का मान 12.725+1.700 है 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय: "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 - 2.2

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

हमें उत्तर 0.3 मिला। तो व्यंजक 2.5 - 2.2 का मान 0.3 . के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 . का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक भिन्न संख्या होती है। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और भिन्न 3.1 में केवल एक होता है। इसका अर्थ है कि भिन्न 3.1 में, दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तब हमें 3,100 मिलते हैं।

अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

उत्तर मिला 4,253। अतः व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान 4.253 . है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाना असंभव हो जाता है, तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 - 2.39 . का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवां भाग घटाएं। संख्या 6 से संख्या 9 घटाएं नहीं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक को उधार लेने के बाद, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात को लिखते हैं:

अब दसवां घटाएं। चूँकि हमने दहाई की श्रेणी में एक इकाई ली थी, वहाँ जो आंकड़ा था वह एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं है, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 को घटाएं। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07. तो व्यंजक का मान 3.46−2.39 1.07 . के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 3−1.2

यह उदाहरण एक पूर्णांक से दशमलव घटाता है। आइए इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव भिन्न 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 . के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद, अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दहाई घटाएँ: 0−2। संख्या 2 को शून्य से न घटाएं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक से एक को उधार लेकर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे भागों को घटाएं। पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने इससे एक इकाई उधार ली थी। नतीजतन, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 2 से 1 घटाते हैं। 2−1=1. हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर 1.8 मिला। तो व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 . है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान और मजेदार भी है। दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की जरूरत है, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 × 1.5

हम इन दशमलव अंशों को अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए साधारण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविराम को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिले। इस संख्या में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 2.5 और 1.5 के अंशों में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे भिन्न में भी एक होता है। कुल दो अंक।

हम 375 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 3.75। अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 . है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 12.85 × 2.7

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिले। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम 34695 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 34,695। अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 . है

12.85 x 2.7 = 34.695

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको एक दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एक दशमलव और एक साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 . से गुणा करें

हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली है। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.54 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम 508 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 5.08. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 . है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 . से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करना आवश्यक है, फिर उत्तर में, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिनें क्योंकि दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे अंश।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 . से गुणा करें

आइए दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.88 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 28.80। हम अंतिम शून्य को छोड़ देते हैं - हमें 28.8.8.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 . है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम दाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 मिलता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाहिनी ओर ले जाते हैं, हमें 288 . प्राप्त होता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। सामान्य संख्याओं की तरह भिन्नों को गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना आवश्यक है, दाईं ओर जितने अंक हैं, उतने ही अंकों की गणना दशमलव बिंदु के बाद दोनों भिन्नों में होती है।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 . से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 3.25 और 0.1 के अंशों में अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन अंक।

हम 325 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद, हम पाते हैं कि संख्याएँ समाप्त हो गई हैं। इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें उत्तर 0.325 मिला। अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 . है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत आसान और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीनों से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस मामले में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। नतीजतन, हमें 0.325 . मिलता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.01 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से घुमाते हैं, हमें 0.0325 . मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.001 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 . मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करके 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। अधिकांश लोग एक सामान्य गलती करते हैं।

जब 10, 100, 1000 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम बाईं ओर उतने अंकों से चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

यदि पहली बार में यह याद रखना मुश्किल है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं के साथ गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको दाहिनी ओर जितने अंक हैं उतने अंकों की गणना करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा क्योंकि दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंक होते हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है, जिसके अंश में भाज्य होता है और हर में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है। तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब। एक अंश एक समस्या का उत्तर है एक सेब को दो के बीच कैसे विभाजित करें

यह पता चला है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में एक भिन्नात्मक बार का अर्थ है विभाजन, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को एक अंश में भी अनुमति है। पर कैसे? हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा यदि हम याद रखें कि अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना। इसका अर्थ है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित किया जा सकता है, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर एक दशमलव भिन्न प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करते हैं:

एक को ऐसे ही दो भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। यदि आप एक प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी तौर पर हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, हम भागफल को भाजक से गुणा करके शेषफल निकालते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त एक के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 मिला। हम 10 को 2 से भाग देते हैं, हमें 5 मिलता है। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम गणना को पूरा करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करने पर हमें 10 . प्राप्त होता है

हमें उत्तर 0.5 मिला। तो भिन्न 0.5 . है

दशमलव भिन्न 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ते हैं, तो हमें फिर से मूल एक पूरा सेब मिलता है:

इस बिंदु को भी समझा जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी . मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 . का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितने फाइव होते हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटाएं:

आइए अब चारों को 5 भागों में विभाजित (विभाजित) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी में लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें उत्तर 0.8 मिला। अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 . है

उदाहरण 3व्यंजक 5: 125 . का मान ज्ञात कीजिए

पांच में 125 कितनी संख्याएं हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पांच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच 0 . में से तुरंत घटाएं

अब पांचों को 125 भागों में विभाजित (विभाजित) करते हैं। ऐसा करने के लिए, इस पाँच के दाईं ओर, हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से विभाजित करें। 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल भी नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 . लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। 50 . में से तुरंत 0 घटाएं

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। 500 की संख्या में 125 कितनी संख्याएँ हैं। 500 की संख्या में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चार को निजी में लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 500 . प्राप्त करते हैं

हमें उत्तर 0.04 मिला। अतः व्यंजक 5: 125 का मान 0.04 . है

शेषफल के बिना संख्याओं का विभाजन

तो, आइए इकाई के बाद भागफल में अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ते हैं:

शेष 4 . में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं:

40−40=0. शेष में 0 प्राप्त किया। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से भाग देने पर 1.8 का दशमलव प्राप्त होता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. शेषफल के बिना 84 को 5 से भाग दें

पहले हम शेषफल के साथ हमेशा की तरह 84 को 5 से विभाजित करते हैं:

शेष में निजी 16 और 4 और प्राप्त हुए। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम निजी क्षेत्र में अल्पविराम लगाते हैं, और शेष 4 . में 0 जोड़ते हैं

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी शेष है:

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव भिन्न, जैसा कि हम जानते हैं, एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको चाहिए:

• दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाने और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 . से भाग दें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब हम पूरे भाग को 2 से भाग करते हैं। चार को दो से विभाजित करते हैं। हम ड्यूस को निजी तौर पर लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि क्या भाग से कोई शेष बचता है:

4−4=0. शेष शून्य है। हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि हल पूरा नहीं हुआ है। फिर हम गणना करना जारी रखते हैं, जैसा कि साधारण विभाजन में होता है। 8 नीचे लें और इसे 2 . से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम चार को भागफल में लिखते हैं और भाजक से तुरंत गुणा करते हैं:

उत्तर 2.4 मिला। व्यंजक मान 4.8: 2 बराबर 2.4

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 8.43:3

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दोनों के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम छह को आठ के नीचे लिखते हैं और शेषफल पाते हैं:

हम 24 को 3 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं। हम भाग के शेष को खोजने के लिए इसे तुरंत भाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेष शून्य है। शून्य अभी तक दर्ज नहीं किया गया है। लाभांश के अंतिम तीन लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

उत्तर 2.81 मिला। अतः व्यंजक 8.43: 3 का मान 2.81 . के बराबर है

दशमलव को दशमलव से भाग देना

दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न में विभाजित करने के लिए, लाभांश में और भाजक में, अल्पविराम को अंकों की उतनी ही संख्या से दाईं ओर ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 . से भाग दें

आइए इस व्यंजक को एक कोने के रूप में लिखें

अब, भाजक में और भाजक में, हम अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरण:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 भिन्न 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

विभाजन को सुविधाजनक बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इस तथ्य के कारण दी जाती है कि जब लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल नहीं बदलता है। इसका क्या मतलब है?

यह में से एक है दिलचस्प विशेषताएंविभाजन। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है। व्यंजक 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस व्यंजक में भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए भाज्य और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम भाजक और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाया था। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, भिन्न 5.91 को भिन्न 59.1 में और भिन्न 1.7 को सामान्य संख्या 17 में परिवर्तित किया गया था।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा हुआ। यहाँ यह कैसा दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भाजक और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक हैं और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाएगा।

दशमलव भाग 10, 100, 1000

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 2.1: 10. हम डिवाइडर को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक अंक से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस मामले में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 0.21 . मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। 100 की संख्या में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 की संख्या में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर तीन अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . लाभांश और भाजक में, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से भाग दें। सबसे पहले, हम भाज्य में और भाजक में दायीं ओर उतने ही अंकों से अल्पविराम लगाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हम लाभांश में अल्पविराम और भाजक को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव अंश 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत सरल है:

तो व्यंजक 6.3:0.1 का मान 63 . के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 6.3:0.1। आइए डिवाइडर को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं और 63 . प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से भाग देने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस मामले में, अंत में एक और शून्य जोड़ा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, हमें 630 . प्राप्त होता है

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

6,3: 0,001 = 6300

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समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। उनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलकूद में भी किया जाता है। मनुष्य द्वारा प्राचीन काल से ही समीकरणों का उपयोग किया जाता रहा है और तब से उनका उपयोग केवल बढ़ा है। दशमलव के साथ एक रैखिक समीकरण को कई अन्य समीकरणों की तरह ही हल किया जाता है, लेकिन उन्हें समीकरण को कम करके और दशमलव से छुटकारा पाकर हल किया जाना चाहिए।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित रूप का समीकरण दिया गया है:

यह समीकरणदो अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है।

विधि संख्या 1:

हम कोष्ठकों को खोलकर समीकरण को सरल बनाकर हल शुरू करते हैं, और चूंकि हमारे पास कोष्ठक के सामने एक संख्या है, हम इस संख्या को कोष्ठक में प्रत्येक पद से गुणा करते हैं:

अब हमारे समीकरण का एक रैखिक रूप है, जिसके कारण हम अज्ञातों को एक दिशा में स्थानांतरित करते हैं, पूरा नंबरदूसरे करने के लिए:

\[ - 7.2x + 5.2x = 1.7 - 14.4 - 4.3\]

\ से पहले की संख्या से 2 भागों को विभाजित करें

\[-2x=-17\]

उत्तर: \

विधि संख्या 2:

इस विधि में, बाएँ और दाएँ भागों को 10 से गुणा करें:

यह एक रैखिक समीकरण है, जिसे विधि 1 के सादृश्य द्वारा हल किया जाता है:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

उत्तर: \

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अनुदेश

दशमलव को भिन्न में बदलना सीखें। गणना करें कि कितने वर्ण अल्पविराम से अलग होते हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर एक अंक का अर्थ है कि हर 10 है, दो अंक 100 हैं, तीन 1000 हैं, इत्यादि। उदाहरण के लिए, दशमलव 6.8 "छह दशमलव आठ" के रूप में। इसे परिवर्तित करते समय, पहले पूरी इकाइयों की संख्या लिखें - 6. हर में 10 लिखें। संख्या 8 अंश में होगी। यह पता चला है कि 6.8 \u003d 6 8/10। संक्षिप्त नाम के नियम याद रखें। यदि अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य हैं, तो अंश को एक सामान्य भाजक द्वारा कम किया जा सकता है। इस स्थिति में, वह संख्या 2 है। 6 8/10 = 6 2/5।

दशमलव जोड़ने का प्रयास करें। अगर आप किसी कॉलम में ऐसा कर रहे हैं तो सावधान हो जाएं। सभी संख्याओं के अंक एक दूसरे के नीचे - अल्पविराम के तहत कड़ाई से एक होना चाहिए। जोड़ के नियम ठीक उसी तरह हैं जैसे ऑपरेशन के लिए . उसी संख्या 6.8 में एक और दशमलव अंश जोड़ें - उदाहरण के लिए, 7.3। आठ के नीचे एक ट्रिपल लिखें, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम, और छः के नीचे सात लिखें। अंतिम अंक से जोड़ना शुरू करें। 3+8=11, यानी लिखो 1, याद रखो 1। फिर 6 + 7 जोड़ें, 13 प्राप्त करें। जो आपके दिमाग में रह गया उसे जोड़ें और परिणाम लिखें - 14.1।

घटाव उसी तरह किया जाता है। एक दूसरे के नीचे अंक लिखें, अल्पविराम - अल्पविराम के नीचे। हमेशा इस पर ध्यान केंद्रित करें, खासकर अगर घटाए गए अंकों में इसके बाद अंकों की संख्या घटाए गए अंकों से कम हो। दी गई संख्या से घटाएं, उदाहरण के लिए, 2.139. दो को छः के नीचे, एक को आठ के नीचे, शेष दो संख्याओं को निम्नलिखित अंकों के नीचे लिखिए, जिन्हें शून्य से निरूपित किया जा सकता है। यह पता चला है कि मिन्यूएंड 6.8 नहीं, बल्कि 6.800 है। इस क्रिया को पूरा करने के बाद आपको कुल 4,661 प्राप्त होंगे।

नकारात्मक दशमलव के साथ संचालन उसी तरह किया जाता है जैसे पूर्णांक के साथ। जोड़ते समय, माइनस को ब्रैकेट से हटा दिया जाता है, और दी गई संख्या को ब्रैकेट में लिखा जाता है, और उनके बीच एक प्लस रखा जाता है। परिणाम एक ऋणात्मक संख्या है। यानी -6.8 और -7.3 को जोड़ने पर आपको 14.1 का समान परिणाम मिलेगा, लेकिन इसके सामने "-" होगा। यदि सबट्रेंड मिन्यूएंड से बड़ा है, तो माइनस को भी ब्रैकेट से निकाल लिया जाता है, छोटी को बड़ी संख्या से घटा दिया जाता है। -7.3 को 6.8 से घटाएं। इस प्रकार अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। 6.8 - 7.3 \u003d - (7.3 - 6.8) \u003d -0.5।

दशमलव को गुणा करने के लिए, कुछ समय के लिए अल्पविराम को भूल जाइए। उन्हें ऐसे गुणा करें जैसे वे पूर्णांक हों। उसके बाद, दोनों कारकों में दशमलव बिंदु के बाद दाईं ओर अंकों की संख्या गिनें। काम में समान वर्णों को अलग करें। 6.8 और 7.3 को गुणा करने पर आपको 49.64 प्राप्त होता है। यानी अल्पविराम के दाईं ओर आपके पास 2 अंक होंगे, जबकि गुणक और गुणक में एक-एक अंक होंगे।

दिए गए भिन्न को किसी पूर्णांक से भाग दें। यह क्रिया उसी तरह से की जाती है जैसे पूर्णांक के साथ। मुख्य बात यह है कि अल्पविराम के बारे में न भूलें और शुरुआत में 0 डालें यदि पूर्णांक इकाइयों की संख्या एक भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है। उदाहरण के लिए, उसी 6.8 को 26 से विभाजित करने का प्रयास करें। शुरुआत में 0 लगाएं, क्योंकि 6 26 से कम है। इसे अल्पविराम से अलग करें, दसवां और सौवां आगे बढ़ेगा। परिणाम लगभग 0.26 होगा। वास्तव में, इस मामले में, एक अनंत गैर-आवधिक अंश प्राप्त होता है, जिसे सटीकता की वांछित डिग्री तक गोल किया जा सकता है।

दो दशमलव अंशों को विभाजित करते समय, उस संपत्ति का उपयोग करें जो भाजक और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करने पर भागफल नहीं बदलता है। अर्थात्, कितने दशमलव स्थान हैं, इसके आधार पर दोनों भिन्नों को पूर्णांकों में परिवर्तित करें। यदि आप 6.8 को 7.3 से विभाजित करना चाहते हैं, तो दोनों संख्याओं को 10 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। यह पता चला है कि आपको 68 को 73 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि किसी एक संख्या में दशमलव बिंदु के बाद अधिक अंक हैं, तो पहले इसे परिवर्तित करें एक पूर्णांक, और फिर दूसरी संख्या। इसे उसी संख्या से गुणा करें। यानी 6.8 को 4.136 से विभाजित करते समय, लाभांश और भाजक को 10 से नहीं, बल्कि 1000 गुना बढ़ाएं। 6800 को 1436 से भाग देने पर आपको 4.735 प्राप्त होता है।